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拉普拉斯变换

拉普拉斯变换简介

拉普拉斯变换是一种积分变换，主要用于解决微分方程和差分方程。它将一个时间域中的函数f(t)f(t)转换为复频域中的函数F(s)F(s)。 拉普拉斯变换在工程学、物理学和数学中有着广泛的应用，特别是在控制系统理论和信号处理领域。

定义

对于一个定义在[0,+∞)[0, +\infty)上的函数f(t)f(t)，其拉普拉斯变换定义为： F(s)=L{f(t)}=∫0∞e−stf(t) dtF(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt 其中，ss 是复变量，通常表示为 s=σ+jωs = \sigma + j\omega，其中 σ\sigma 和 ω\omega 分别是实部和虚部。

性质

  1. 线性性质： 如果 L{f(t)}=F(s)\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) 和 L{g(t)}=G(s)\mathcal{L}\{g(t)\} = G(s)，则 L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s) 其中，aa 和 bb 是常数。

    • 证明：利用拉普拉斯变换的定义： L{af(t)+bg(t)}=∫0∞(af(t)+bg(t))e−st dt\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = \int_0^\infty (a f(t) + b g(t)) e^{-st} \, dt =a∫0∞f(t)e−st dt+b∫0∞g(t)e−st dt= a \int_0^\infty f(t) e^{-st} \, dt + b \int_0^\infty g(t) e^{-st} \, dt =aF(s)+bG(s)= a F(s) + b G(s)

  2. 时移性质： 如果 L{f(t)}=F(s)\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)，则 L{f(t−a)u(t−a)}=e−asF(s)\mathcal{L}\{f(t - a) u(t - a)\} = e^{-as} F(s) 其中，u(t)u(t) 是单位阶跃函数。

    • 证明：利用拉普拉斯变换的定义和变量替换： L{f(t−a)u(t−a)}=∫0∞f(t−a)u(t−a)e−st dt\mathcal{L}\{f(t - a) u(t - a)\} = \int_0^\infty f(t - a) u(t - a) e^{-st} \, dt 令 τ=t−a\tau = t - a，则 dτ=dtd\tau = dt，当 t=at = a 时，τ=0\tau = 0，当 t→∞t \to \infty 时，τ→∞\tau \to \infty： =∫0∞f(τ)e−s(τ+a) dτ= \int_0^\infty f(\tau) e^{-s(\tau + a)} \, d\tau =e−as∫0∞f(τ)e−sτ dτ= e^{-as} \int_0^\infty f(\tau) e^{-s\tau} \, d\tau =e−asF(s)= e^{-as} F(s)

  3. 频移性质： 如果 L{f(t)}=F(s)\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)，则 L{eatf(t)}=F(s−a)\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)

    • 证明：利用拉普拉斯变换的定义和变量替换： L{eatf(t)}=∫0∞eatf(t)e−st dt\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = \int_0^\infty e^{at} f(t) e^{-st} \, dt =∫0∞f(t)e−(s−a)t dt= \int_0^\infty f(t) e^{-(s - a)t} \, dt =F(s−a)= F(s - a)

  4. 微分性质： 如果 L{f(t)}=F(s)\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)，则 L{f′(t)}=sF(s)−f(0)\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0) L{f′′(t)}=s2F(s)−sf(0)−f′(0)\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - sf(0) - f'(0)

    • 证明：利用分部积分法： L{f′(t)}=∫0∞f′(t)e−st dt\mathcal{L}\{f'(t)\} = \int_0^\infty f'(t) e^{-st} \, dt 令 u=e−stu = e^{-st}，dv=f′(t)dtdv = f'(t) dt，则 du=−se−stdtdu = -se^{-st} dt，v=f(t)v = f(t)： =[f(t)e−st]0∞+s∫0∞f(t)e−st dt= \left[ f(t) e^{-st} \right]_0^\infty + s \int_0^\infty f(t) e^{-st} \, dt =−f(0)+sF(s)= -f(0) + sF(s) 对于 L{f′′(t)}\mathcal{L}\{f''(t)\}，同理可得： L{f′′(t)}=sL{f′(t)}−f′(0)\mathcal{L}\{f''(t)\} = s \mathcal{L}\{f'(t)\} - f'(0) =s(sF(s)−f(0))−f′(0)= s(sF(s) - f(0)) - f'(0) =s2F(s)−sf(0)−f′(0)= s^2 F(s) - sf(0) - f'(0)

  5. 积分性质： 如果 L{f(t)}=F(s)\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)，则 L{∫0tf(τ) dτ}=1sF(s)\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau) \, d\tau\right\} = \frac{1}{s} F(s)

    • 证明：利用拉普拉斯变换的定义和分部积分法： L{∫0tf(τ) dτ}=∫0∞(∫0tf(τ) dτ)e−st dt\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau) \, d\tau\right\} = \int_0^\infty \left( \int_0^t f(\tau) \, d\tau \right) e^{-st} \, dt 令 F(t)=∫0tf(τ) dτF(t) = \int_0^t f(\tau) \, d\tau，则 F′(t)=f(t)F'(t) = f(t)： =∫0∞F(t)e−st dt= \int_0^\infty F(t) e^{-st} \, dt 利用分部积分法，令 u=F(t)u = F(t)，dv=e−stdtdv = e^{-st} dt，则 du=f(t)dtdu = f(t) dt，v=−1se−stv = -\frac{1}{s} e^{-st}： =[F(t)(−1se−st)]0∞+1s∫0∞f(t)e−st dt= \left[ F(t) \left( -\frac{1}{s} e^{-st} \right) \right]_0^\infty + \frac{1}{s} \int_0^\infty f(t) e^{-st} \, dt =0+1sF(s)= 0 + \frac{1}{s} F(s) =1sF(s)= \frac{1}{s} F(s)

  6. 卷积定理： 如果 L{f(t)}=F(s)\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) 和 L{g(t)}=G(s)\mathcal{L}\{g(t)\} = G(s)，则 L{(f∗g)(t)}=F(s)G(s)\mathcal{L}\{(f * g)(t)\} = F(s) G(s) 其中，(f∗g)(t)=∫0tf(τ)g(t−τ) dτ(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau 是 f(t)f(t) 和 g(t)g(t) 的卷积。

    • 证明：利用拉普拉斯变换的定义和变量替换： L{(f∗g)(t)}=∫0∞(∫0tf(τ)g(t−τ) dτ)e−st dt\mathcal{L}\{(f * g)(t)\} = \int_0^\infty \left( \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau \right) e^{-st} \, dt 交换积分次序： =∫0∞∫0tf(τ)g(t−τ)e−st dτ dt= \int_0^\infty \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) e^{-st} \, d\tau \, dt 令 u=t−τu = t - \tau，则 du=dtdu = dt，当 t=τt = \tau 时，u=0u = 0，当 t→∞t \to \infty 时，u→∞u \to \infty： =∫0∞f(τ)(∫0∞g(u)e−s(τ+u) du) dτ= \int_0^\infty f(\tau) \left( \int_0^\infty g(u) e^{-s(\tau + u)} \, du \right) \, d\tau =∫0∞f(τ)e−sτ(∫0∞g(u)e−su du) dτ= \int_0^\infty f(\tau) e^{-s\tau} \left( \int_0^\infty g(u) e^{-su} \, du \right) \, d\tau =F(s)G(s)= F(s) G(s)

  7. 初值定理：如果 f(t)f(t) 在 t=0t=0 处连续，则有：

    lim⁡t→0+f(t)=lim⁡s→∞sF(s)\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)
    • 证明：利用拉普拉斯变换的定义： L{f(t)}=∫0∞f(t)e−st dt\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t) e^{-st} \, dt 当 s→∞s \to \infty 时，e−st→0e^{-st} \to 0，则： sF(s)=s∫0∞f(t)e−st dtsF(s) = s \int_0^\infty f(t) e^{-st} \, dt =∫0∞f(t)se−st dt= \int_0^\infty f(t) s e^{-st} \, dt 当 t→0+t \to 0^+ 时，se−st→1s e^{-st} \to 1，则： lim⁡s→∞sF(s)=f(0)\lim_{s \to \infty} sF(s) = f(0)

  8. 终值定理：如果 lim⁡t→∞f(t)\lim_{t \to \infty} f(t) 存在且有限，则有：

    lim⁡t→∞f(t)=lim⁡s→0sF(s)\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)

    注：极限必须存在

    • 证明：利用拉普拉斯变换的定义： L{f(t)}=∫0∞f(t)e−st dt\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t) e^{-st} \, dt 当 s→0s \to 0 时，e−st→1e^{-st} \to 1，则： sF(s)=s∫0∞f(t)e−st dtsF(s) = s \int_0^\infty f(t) e^{-st} \, dt =∫0∞f(t)se−st dt= \int_0^\infty f(t) s e^{-st} \, dt 当 t→∞t \to \infty 时，se−st→0s e^{-st} \to 0，则： lim⁡s→0sF(s)=lim⁡t→∞f(t)\lim_{s \to 0} sF(s) = \lim_{t \to \infty} f(t)

常见函数的拉普拉斯变换

函数 f(t)f(t)拉普拉斯变换 L{f(t)}\mathcal{L}\{f(t)\}
单位阶跃函数 u(t)u(t)1s\frac{1}{s}
指数函数 e−ate^{-at}1s+a\frac{1}{s + a}
正弦函数 sin⁡(bt)\sin(bt)bs2+b2\frac{b}{s^2 + b^2}
余弦函数 cos⁡(bt)\cos(bt)ss2+b2\frac{s}{s^2 + b^2}
幂函数 tnt^nn!sn+1\frac{n!}{s^{n+1}}
δ\delta 函数11
nn 阶导数 f(n)(t)f^{(n)}(t)snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−sf(n−2)(0)−f(n−1)(0)s^n F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - sf^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0)
多次积分 ∫0t∫0t1⋯∫0tn−1f(tn)dtn⋯dt1\int_0^t \int_0^{t_1} \cdots \int_0^{t_{n-1}} f(t_n) dt_n \cdots dt_11snF(s)\frac{1}{s^n}F(s)

1. 单位阶跃函数 u(t)u(t)

单位阶跃函数定义为： u(t)={0t<01t≥0u(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ 1 & t \geq 0 \end{cases} 其拉普拉斯变换为: L{u(t)}=∫0∞e−st⋅1 dt=[−1se−st]0∞=1s\mathcal{L}\{u(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} \cdot 1 \, dt = \left[ -\frac{1}{s} e^{-st} \right]_0^\infty = \frac{1}{s}

2. 指数函数 e−ate^{-at}

对于指数衰减函数 e−ate^{-at}，其拉普拉斯变换为： L{e−at}=∫0∞e−ste−at dt=∫0∞e−(s+a)t dt=[−1s+ae−(s+a)t]0∞=1s+a\mathcal{L}\{e^{-at}\} = \int_0^\infty e^{-st} e^{-at} \, dt = \int_0^\infty e^{-(s+a)t} \, dt = \left[ -\frac{1}{s+a} e^{-(s+a)t} \right]_0^\infty = \frac{1}{s + a}

3. 正弦函数 sin⁡(bt)\sin(bt)

正弦函数的拉普拉斯变换可以通过欧拉公式 eix=cos⁡(x)+isin⁡(x)e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) 获得： L{sin⁡(bt)}=L{eibt−e−ibt2i}=12i(1s−ib−1s+ib)=bs2+b2\mathcal{L}\{\sin(bt)\} = \mathcal{L}\left\{\frac{e^{ibt} - e^{-ibt}}{2i}\right\} = \frac{1}{2i} \left( \frac{1}{s-ib} - \frac{1}{s+ib} \right) = \frac{b}{s^2 + b^2}

4. 余弦函数 cos⁡(bt)\cos(bt)

类似地，余弦函数的拉普拉斯变换为： L{cos⁡(bt)}=L{eibt+e−ibt2}=12(1s−ib+1s+ib)=ss2+b2\mathcal{L}\{\cos(bt)\} = \mathcal{L}\left\{\frac{e^{ibt} + e^{-ibt}}{2}\right\} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s-ib} + \frac{1}{s+ib} \right) = \frac{s}{s^2 + b^2}

5. 幂函数 tnt^n

幂函数的拉普拉斯变换可以使用分部积分法得到： L{tn}=∫0∞tne−st dt\mathcal{L}\{t^n\} = \int_0^\infty t^n e^{-st} \, dt 通过分部积分，我们有： L{tn}=[−tnse−st]0∞+ns∫0∞tn−1e−st dt=nsL{tn−1}\mathcal{L}\{t^n\} = \left[ -\frac{t^n}{s} e^{-st} \right]_0^\infty + \frac{n}{s} \int_0^\infty t^{n-1} e^{-st} \, dt = \frac{n}{s} \mathcal{L}\{t^{n-1}\} 递归应用此结果直到 n=0n=0，最终得到： L{tn}=n!sn+1\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}

6. δ\delta 函数

δ\delta 函数（狄拉克δ函数）是一个广义函数，表示一个在所有点上都为零，但在原点处无限高的脉冲。它的拉普拉斯变换为： L{δ(t)}=∫−∞∞δ(t)e−st dt=1\mathcal{L}\{\delta(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-st} \, dt = 1 这是因为 δ(t)\delta(t) 在 t=0t=0 时的积分等于11。

7. nn 阶导数

nn 阶导数的拉普拉斯变换考虑了初始条件，表达式如下： L{f(n)(t)}=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−sf(n−2)(0)−f(n−1)(0)\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^n F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - sf^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0) 这里，F(s)F(s) 是 f(t)f(t) 的拉普拉斯变换，f(0),f′(0),…,f(n−1)(0)f(0), f'(0), \ldots, f^{(n-1)}(0) 是 f(t)f(t) 及其各阶导数在 t=0t=0 时的值。

8.多次积分

对于多次积分，其拉普拉斯变换可以表示为： L{∫0t∫0t1⋯∫0tn−1f(tn)dtn⋯dt1}=1snF(s)\mathcal{L}\left\{\int_0^t \int_0^{t_1} \cdots \int_0^{t_{n-1}} f(t_n) dt_n \cdots dt_1\right\} = \frac{1}{s^n}F(s) 这里 F(s)F(s) 是 f(t)f(t) 的拉普拉斯变换。这个结果可以通过重复应用拉普拉斯变换的一阶积分性质来证明。一阶积分的拉普拉斯变换是 L{∫0tf(τ)dτ}=1sF(s)\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau)d\tau\right\} = \frac{1}{s}F(s)，因此对于 nn 次积分，就是将这个过程重复 nn 次，从而得到上述结果。